Neste artigo vamos estudar o conceito de igualdade e as suas propriedades mais importantes. Como o nome indica, uma igualdade é quando determinado valor ou operação é igual a outro determinado valor ou operação. Estudaremos ainda o que é uma desigualdade e daremos os primeiros passos nas fórmulas.

Conceito de igualdade

Uma igualdade caracteriza-se, matematicamente falando, quando duas operações ou quantidades são iguais entre si, ou seja, quando uma e outra têm o mesmo número de unidades. Esta característica é válida para todas as operações aritméticas.

Um exemplo de uma igualdade:    2+4+9 = 15  é uma igualdade
15 = 15

Como podemos verificar no exemplo acima, as partes à esquerda e à direita do sinal de igual (=) têm exactamente o mesmo número de unidades. Depois da operação realizada verificamos que se trata realmente de uma igualdade, representada pelo sinal de igual ( = ).

Outros exemplos de igualdades:

13+5+9 = 14+13 <=> 27=27
8+2-4-1 = 9-8 <=> 1=1
3×4 = 20-8 <=> 12=12
9:3 = 7-4 <=> 3=3

Quando, ao contrário do que falámos, não se verificar uma igualdade estaremos perante uma desigualdade, já que o significado é diferente (não é igual a). Uma desigualdade (diferente) representa-se com o símbolo de igual com um traço por cima ( ≠ )

Exemplos de desigualdades:

9-3 ≠ 7 <=> 6≠7
1+1≠3 <=> 2≠3
4×5 ≠ 19 <=> 20≠19

Como estudaremos mais à frente, as igualdades têm algumas propriedades muito úteis para calcular fórmulas, já que uma fórmula tem sempre uma igualdade.

Temos como exemplo a fórmula que calcula a quantidade de electricidade de um circuito, a título de exemplo, que estudaremos mais à frente:

Fórmula para calcular a quantidade de electricidade:

Q = I x t

Podemos constatar que a fórmula exemplificada acima é também uma igualdade, onde a letra Q representa a quantidade de electricidade, a letra I representa a intensidade da corrente eléctrica e a letra t representa o tempo que a corrente demora a circular pelo circuito.

Incógnitas é o nome dado a essas letras. O significado da palavra incógnita é algo que se desconhece, acontecendo o mesmo numa fórmula, em que, ao substituir letras por unidades, chegaremos a um resultado, ou a uma igualdade.

Membros de uma igualdade:

Tal como vimos nas igualdades, existe sempre uma parte que fica antes do sinal de igual e outra que fica depois. Cada uma dessas partes tem o nome de membro de uma igualdade. A parte que fica antes do sinal de igual chama-se primeiro membro da igualdade e a parte que fica depois do sinal de igual chama-se segundo membro da igualdade.

Membros de uma igualdadeO primeiro membro da igualdade é 2+3+4 e o segundo membro da igualdade é 4+5.

Termos de uma igualdade:

Os membros de uma igualdade podem ser formados por vários números ou letras, separados por sinais aritméticos. Cada um destes elementos chama-se termo de uma igualdade. Os termos de uma igualdade estão sempre separados somente por um sinal de + ou –. Por isso podemos dizer que um termo pode ser um conjunto de números e operações, desde que estas operações sejam de multiplicar ou de dividir. Na imagem abaixo podemos verificar que na igualdade existem 7 termos (assinalados a azul):

Termos de uma igualdade

Termo literal:

Como o próprio nome indica, termo literal é um termo que é composto por uma multiplicação (ou produto) ou por uma divisão de números e letras.
Vejamos um exemplo de uma igualdade com termos literais:

Termos literais

Na fórmula que exemplificámos em cima, temos 3 termos literais. No 1º membro da igualdade temos um termo literal (porque contém a letra “a”) e no 2º membro da igualdade temos 2 termos literais: o termo 8a e o termo 2b (mais uma vez são chamados termos literais porque contêm letras).

Para comprovarmos que se trata realmente de uma igualdade, podemos substituir cada uma das letras por um número:

Exemplo de uma igualdade com termos literaisComo se constatou, é de facto uma igualdade.

  • Como veremos mais adiante, quando um número está junto a uma letra, significa que se trata de uma multiplicação, como no caso do 5a e do 8a e do 2b.
  • Como as multiplicações e divisões realizam-se primeiro que as somas e as subtracções, colocam-se entre parêntesis ( ) para sabermos que têm prioridade sobre as operações de somar e subtrair.

Os sinais usados nas fórmulas e igualdades:

Tal como foi dito há pouco, sempre que uma letra e um número estiverem juntos, ou duas letras estiverem juntas, sem sinal algum entre eles, significa que se trata de uma multiplicação.

Se tivermos a operação 23ab, significa que temos 23 a multiplicar pela letra a e pela letra b. Poderíamos escrever 23 x a x b, mas como se poderia confundir o sinal de multiplicação (x) pela letra x, optou-se por se escrever assim multiplicações com números e letras.

O mesmo acontece quando queremos representar, por exemplo, uma multiplicação entre uma soma e um factor. Se queremos escrever que estamos a multiplicar o factor 2a pela soma 3b+4c, então escreveríamos da seguinte forma:

2a (3b+4c)      ou     (3b+4c) 2a

A soma (ou subtracção) coloca-se entre parêntesis para sabermos que é o resultado dos 2 factores que vai multiplicar pelo factor 2a, que pode ser colocado antes ou depois dos parêntesis. Caso não existisse parêntesis, há que lembrar que as multiplicações e divisões realizam-se sempre primeiro que as somas e subtracções.

Propriedades das igualdades:

Todas as igualdades possuem uma série de propriedades que terão que se cumprir. Caso isto não aconteça estamos perante uma desigualdade.

As propriedades das igualdades são:

  • Se as operações de um ou dos dois membros de uma igualdade se realizarem, o resultado será uma igualdade:

Exemplo:   4 + 5 – 3 = 2 x 3
6 = 6

  • Numa igualdade, podemos substituir qualquer uma das quantidades por uma operação equivalente, que a igualdade permanece igual:

Se na igualdade anterior, substituirmos o 4 por (12:3),
a igualdade permanecerá igual:

(12:3) + 5 – 3 = 2 x 3
4 + 5 – 3 = 2 x 3
6 = 6

  • Numa igualdade, se substituirmos uma letra ou letras pelos seus valores numéricos, a igualdade permanece igual:

Por exemplo, na igualdade:   27a + 3 = 17b + 5
se substituirmos a letra “a” por 2, fica:

27 x 2 + 3 = 17b + 5

A esta operação dá-se o nome de substituição,
pois substituiu-se uma letra pelo seu valor numérico.

  • Se somar ou subtrair a mesma quantidade nos dois membros de uma igualdade, continuaremos a ter uma igualdade:

2 + 4 + 6 = 20 – 8
12 = 12

Se na operação anterior somarmos o mesmo número, o
número 5 por exemplo, continuaremos a ter uma igualdade:

2 + 4 + 6 + 5 = 20 – 8 + 5
17 = 17

  • Se passarmos um termo de um membro da igualdade para o outro membro, esta permanece igual, desde que se troque o sinal do referido termo:

4 + 2 – 5 = 9 – 8
1 = 1

Se passarmos por exemplo o 5, do 1º membro, que tem sinal negativo, para
o 2º membro, mudamos-lhe o sinal, passando a ser positivo e ficamos com:

4 + 2 = 9 – 8 + 5
6 = 6

À passagem de um termo de um membro para outro membro
de uma operação, dá-se o nome de transposição.

Se passarmos todos os termos de um membro da igualdade
para o outro membro, a igualdade será igual a zero:

4 + 2 – 5 = 9 – 8 <=>  1 = 1

4 + 2 – 5 – 9 + 8 = 0

(passámos todos termos do 2º membro para o 1º membro,
ficando com uma igualdade igual a zero)

  • Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma igualdade pelo mesmo valor, continuaremos a ter uma igualdade.
    Para realizar este tipo de operação, temos que multiplicar ou dividir cada um dos termos pela mesma quantidade.

Por exemplo:                    7 + 4 – 3 = 4 + 2 + 2
8 = 8

Se multiplicarmos todos os termos por 3, por exemplo,
continuaremos a ter uma igualdade:

7×3 + 4×3 – 3×3 = 4×3 + 2×3 + 2×3
21 + 12 – 9 = 12 + 6 + 6
24 = 24

(Não esqueça que a multiplicação e divisão
têm prioridade sobre a soma e a subtracção)

  • Se um número ou uma quantidade estiver como divisor ou multiplicador de um membro de uma igualdade, pode ser passado de um membro para o outro membro. Se era multiplicador num membro, passará a ser divisor no outro membro, e vice-versa.

Por exemplo, se tivermos a igualdade:Exemplo de uma igualdade
2 é o multiplicador que multiplica por (3+7). Se o quisermos passar para o 2º membro da igualdade, passamo-lo como divisor e ficamos com a seguinte igualdade:

Passando o algarismo 2 do primeiro para o segundo membro da igualdadeO número 2 (assinalado a azul) passou para o 2º membro sendo agora divisor e mantendo a igualdade inalterada.

Por exemplo, se tivermos agora a mesma igualdade inicial:

Exemplo da mesma igualdadeE quisermos passar o número 3 do 2º membro da igualdade (assinalado a azul) para o 1º membro da igualdade, passará de divisor a multiplicador e ficamos com a seguinte igualdade:

Passando o algarismo 3 do segundo para o primeiro membro da igualdadeComo vimos é relativamente simples passarmos um determinado termo de um membro para outro membro da operação, quer seja ele um número ou uma letra ou ainda um produto de um numero por uma letra, por exemplo.

Alguns exercícios de aplicação:

(soluções no final do artigo)

  1. Qual o algarismo que devemos colocar no 2º membro para a expressão se tornar uma igualdade:3 + 2 + 1 = 2 + _____
  2. Um número que está no 1º membro com sinal + antes dele, se o quisermos passar para o 2º membro ficará com sinal + ou – ?
  3. Se passarmos todos os termos de uma igualdade para o 1º ou para o 2º membro, o resultado desta igualdade será igual a _____
  4. Qual das expressões b) c) e d) estão correctas relativamente à expressão a)
  5. Algumas igualdades
  6. Quantos membros tem uma igualdade? 1, 2 ou 3 ?
  7. Na expressão   3 + a + 1 = 10    a que é igual a letra a?
  8. Qual dos seguintes termos é um termo literal?
    a)  2×3     b) 3+4+5 = 2     c) 3k          4) 12

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Soluções dos exercícios de aplicação:

  1. 4
  2. -
  3. 0
  4. c)
  5. 2
  6. a = 10-3-1 <=> a=6
  7. c)